Qué es una derivada y qué representa

La derivada de una función en un punto mide cómo de rápido cambia esa función en ese punto.

Interpretaciones de la derivada

1. Geométricamente: La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

2. Físicamente: Si la función representa posición, la derivada representa velocidad. Si representa velocidad, la derivada representa aceleración.

3. En general: La derivada mide la tasa de variación instantánea de una magnitud respecto a otra.

Notación

La derivada de f(x) se puede escribir como:

• f'(x)

• df/dx

• Df(x)

En 2º de Bachillerato usarás sobre todo f'(x).

Reglas de derivación

Para derivar funciones complicadas, usamos reglas que nos permiten descomponerlas en partes más sencillas.

Derivadas básicas

Regla de la suma y resta

(f + g)' = f' + g'
(f - g)' = f' - g'

Regla del producto

(f · g)' = f' · g + f · g'

Ejemplo:
Si h(x) = x² · sen(x), entonces:
h'(x) = 2x · sen(x) + x² · cos(x)

Regla del cociente

(f / g)' = (f' · g - f · g') / g²

Ejemplo:
Si h(x) = sen(x) / x, entonces:
h'(x) = (cos(x) · x - sen(x) · 1) / x² = (x·cos(x) - sen(x)) / x²

Regla de la cadena (funciones compuestas)

Si h(x) = f(g(x)), entonces:
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Ejemplo:
Si h(x) = sen(x²), entonces:
h'(x) = cos(x²) · 2x = 2x · cos(x²)

La regla de la cadena es fundamental. La mayoría de funciones que aparecen en exámenes son compuestas.

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Derivadas y aplicaciones

Derivar es solo el primer paso. Lo importante es saber usar las derivadas para resolver problemas.

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

• Si f'(x) > 0 en un intervalo, la función es creciente en ese intervalo.

• Si f'(x) < 0 en un intervalo, la función es decreciente en ese intervalo.

Máximos y mínimos

Los puntos donde f'(x) = 0 son candidatos a máximos o mínimos (puntos críticos).

Para saber si es máximo o mínimo:

• Criterio de la primera derivada: Mira si la función pasa de crecer a decrecer (máximo) o al revés (mínimo).

• Criterio de la segunda derivada: Si f''(x₀) < 0, es máximo. Si f''(x₀) > 0, es mínimo.

Problemas de optimización

Son los problemas donde te piden encontrar el máximo o mínimo de una magnitud (área, volumen, coste, beneficio...).

Pasos para resolverlos:

1. Identifica la función a optimizar.

2. Exprésala en función de una sola variable.

3. Deriva e iguala a cero.

4. Comprueba que es máximo o mínimo.

5. Responde a lo que te preguntan.

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Ejercicios tipo examen y PAU

La EBAU siempre incluye ejercicios de derivadas, ya sea directamente o dentro del estudio de una función.

Qué suele caer

1. Derivar funciones: Aplicar reglas de derivación a funciones variadas.

2. Recta tangente: Hallar la ecuación de la tangente en un punto.

3. Estudio de funciones: Dominio, derivada, monotonía, extremos, representación.

4. Problemas de optimización: Encontrar máximo o mínimo de una magnitud.

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