Conceptos básicos de probabilidad

Espacio muestral

El espacio muestral (E o Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo:
Al lanzar un dado, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Regla de Laplace

Cuando todos los resultados son igualmente probables:

P(A) = casos favorables / casos posibles

Ejemplo:
Probabilidad de sacar par al lanzar un dado:
P(par) = 3/6 = 1/2

Probabilidad condicionada

La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Ejemplo:
En una clase, el 60% son chicas. De las chicas, el 30% llevan gafas.
¿Probabilidad de que una persona elegida al azar sea chica con gafas?
P(chica ∩ gafas) = 0,60 × 0,30 = 0,18 = 18%

Independencia y probabilidad total

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro.

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (solo si son independientes)

Teorema de la probabilidad total

Si B₁, B₂, ..., Bₙ son sucesos que forman una partición del espacio muestral:

P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)·P(Bₙ)

Se usa mucho en problemas con diagramas de árbol.

Teorema de Bayes

Permite "invertir" la probabilidad condicionada:

P(Bᵢ|A) = P(A|Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A)

Es un clásico de la EBAU. Casi siempre aparece un problema de Bayes.

📎 Ejercicios claros de probabilidad:
IES Virgen del Pilar – Probabilidad

Distribuciones (binomial y normal)

Distribución binomial

Se usa cuando:

• Hay un número fijo de ensayos (n)

• Cada ensayo tiene dos resultados posibles (éxito/fracaso)

• La probabilidad de éxito (p) es constante

• Los ensayos son independientes

Notación: X ~ B(n, p)

Fórmula:
P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Donde C(n,k) es el número combinatorio.

Distribución normal

La distribución normal o gaussiana es la "campana" que aparece en tantos fenómenos naturales.

Notación: X ~ N(μ, σ)

• μ = media

• σ = desviación típica

Para calcular probabilidades, se tipifica pasando a la normal estándar N(0,1):

Z = (X - μ) / σ

Y se usan las tablas de la normal.

Aproximación de binomial a normal

Cuando n es grande y p no está muy cerca de 0 ni de 1, se puede aproximar:

B(n, p) ≈ N(np, √(np(1-p)))

📎 Ejercicios EBAU reales de distribuciones:
EBAU Matemáticas – Probabilidad y estadística

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Ejercicios completos tipo PAU

Qué suele caer en la EBAU

1. Problema de probabilidad condicionada con diagrama de árbol

2. Teorema de Bayes: "invertir" una probabilidad

3. Distribución binomial: calcular P(X = k) o P(X ≤ k)

4. Distribución normal: calcular probabilidades usando tablas

5. Aproximación binomial a normal

PDFs recomendados

📎 Ejercicios resueltos de probabilidad (Alcaste):
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