Copiar enlace
Integrales 2º Bachillerato: explicación clara y ejercicios resueltos PDF
Integrales 2º Bachillerato: explicación clara y ejercicios resueltos PDF
Integrales 2º Bachillerato: explicación clara y ejercicios resueltos PDF
Aprende integrales en 2º Bachillerato paso a paso y practica con ejercicios resueltos: integrales inmediatas, definidas y áreas tipo EBAU.
Qué es una integral y para qué sirve
Si las derivadas responden a la pregunta "¿cómo varía esta función?", las integrales responden a la pregunta inversa: "¿qué función tiene esta derivada?"
La idea de función primitiva
Integrar es encontrar una función primitiva: una función F(x) cuya derivada sea f(x).
Si F'(x) = f(x), entonces F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
La derivada de x² es 2x.
Por tanto, una primitiva de 2x es x².
Pero ojo: también x² + 5 tiene derivada 2x. Y x² - 100. Por eso, cuando integramos, siempre añadimos una constante de integración C:
∫ 2x dx = x² + C
Para qué sirven en 2º Bachillerato
En el temario de Matemáticas II, las integrales se usan principalmente para:
Calcular áreas bajo curvas o entre funciones
Resolver problemas de física (velocidad, posición, trabajo...)
Encontrar primitivas de funciones dadas
En la EBAU, lo más frecuente es que te pidan calcular integrales y usarlas para hallar áreas.
Integrales inmediatas
Las integrales inmediatas son las que se resuelven directamente aplicando la tabla de integrales básicas. Son el pan de cada día.
Tabla básica de integrales
Función | Integral |
|---|---|
x^n | x^(n+1) / (n+1) + C (si n ≠ -1) |
1/x | ln |
e^x | e^x + C |
a^x | a^x / ln(a) + C |
sen(x) | -cos(x) + C |
cos(x) | sen(x) + C |
1/cos²(x) | tan(x) + C |
1/√(1-x²) | arcsen(x) + C |
1/(1+x²) | arctan(x) + C |
La constante de integración
Nunca olvides la + C al final de una integral indefinida. Es un error muy penalizado en exámenes.
¿Por qué existe? Porque hay infinitas funciones con la misma derivada (todas difieren en una constante).
Errores más comunes
1. Olvidar la constante C
Es el error más frecuente y el más fácil de evitar.
2. Confundir el signo en trigonométricas
∫ sen(x) dx = -cos(x) + C (con signo negativo)
∫ cos(x) dx = sen(x) + C (sin signo negativo)
3. Equivocarse con la integral de 1/x
∫ 1/x dx = ln|x| + C (con valor absoluto)
📎 Ejercicios recomendados de integrales inmediatas:
Marea Verde – Unidad de integrales
Integrales con cambio de variable sencillo
Cuando la integral no es inmediata, el primer método a probar es el cambio de variable.
Cuándo se usa
Se usa cuando dentro de la integral aparece una función y su derivada (o algo proporcional a ella).
Ejemplo:
∫ 2x · e^(x²) dx
Aquí aparece x² y su derivada 2x. Hacemos el cambio:
u = x²
du = 2x dx
La integral queda:
∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C
Cómo elegir el cambio
Busca una expresión "complicada" dentro de la integral cuya derivada también aparezca (multiplicando).
Pistas habituales:
Si hay e^(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay ln(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay (algo)^n, prueba u = ese "algo"
Nivel exigido en Bachillerato
En 2º de Bachillerato no te van a pedir cambios de variable muy elaborados. Los cambios suelen ser bastante directos: polinomios, exponenciales sencillas, funciones trigonométricas básicas.
📎 Ejercicios resueltos de cambio de variable:
Matemáticas Online – Integrales CCSS y Ciencias
Las integrales no se entienden memorizando pasos.
En Tu Profe al Rescate las trabajamos una a una, en clases particulares y grupales, hasta que el método sale solo.
👉 Escríbeme por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Integral definida y cálculo de áreas
La integral definida es la que tiene límites de integración (un valor inferior y uno superior).
Significado geométrico
La integral definida de f(x) entre a y b representa el área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b (con signo: positiva si la función está por encima del eje X, negativa si está por debajo).
Cómo se calcula
Aplicamos la Regla de Barrow:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Donde F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
∫[0,2] x² dx = [x³/3] de 0 a 2 = 8/3 - 0 = 8/3
Qué suelen pedir en Selectividad
En la EBAU, los problemas de integrales definidas suelen pedir:
Área bajo una curva: Calcular el área entre una función y el eje X.
Área entre dos curvas: Calcular el área encerrada entre dos funciones.
Área con partes positivas y negativas: Cuidado aquí, hay que separar los intervalos.
Truco importante:
Si la función cruza el eje X, tienes que dividir la integral en trozos y sumar los valores absolutos de cada área.
📎 Problemas EBAU resueltos de integral definida:
Matemáticas Online – Integral definida
Ejercicios tipo PAU / EBAU de integrales
La mejor forma de preparar la EBAU es practicar con ejercicios reales de años anteriores.
Qué suele caer
Integral indefinida: Calcular una primitiva usando métodos básicos o cambio de variable.
Integral definida: Calcular el valor numérico de una integral con límites.
Cálculo de áreas: Hallar el área bajo una curva o entre dos curvas.
Problemas contextualizados: Aplicaciones a física o economía (menos frecuentes).
PDFs recomendados
📎 Recopilación completa de integrales (José Luis Lorente):
Un documento muy extenso con ejercicios de todo tipo, ideal para la recta final.
👉 Descargar recopilación de integrales
📎 Ejercicios de análisis con integrales (Matemáticas Online):
Incluye integrales dentro de problemas más amplios de análisis.
👉 Descargar ejercicios de análisis
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Marea Verde | Unidad completa | |
Matemáticas Online (CCSS) | Ejercicios resueltos | |
Matemáticas Online | Integral definida | |
José Luis Lorente | Recopilación EBAU |
¿Quieres asegurar integrales en el examen?
Doy clases particulares y grupales de Matemáticas II, centradas en ejercicios reales de EBAU.
👉 Reserva tu clase por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Qué es una integral y para qué sirve
Si las derivadas responden a la pregunta "¿cómo varía esta función?", las integrales responden a la pregunta inversa: "¿qué función tiene esta derivada?"
La idea de función primitiva
Integrar es encontrar una función primitiva: una función F(x) cuya derivada sea f(x).
Si F'(x) = f(x), entonces F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
La derivada de x² es 2x.
Por tanto, una primitiva de 2x es x².
Pero ojo: también x² + 5 tiene derivada 2x. Y x² - 100. Por eso, cuando integramos, siempre añadimos una constante de integración C:
∫ 2x dx = x² + C
Para qué sirven en 2º Bachillerato
En el temario de Matemáticas II, las integrales se usan principalmente para:
Calcular áreas bajo curvas o entre funciones
Resolver problemas de física (velocidad, posición, trabajo...)
Encontrar primitivas de funciones dadas
En la EBAU, lo más frecuente es que te pidan calcular integrales y usarlas para hallar áreas.
Integrales inmediatas
Las integrales inmediatas son las que se resuelven directamente aplicando la tabla de integrales básicas. Son el pan de cada día.
Tabla básica de integrales
Función | Integral |
|---|---|
x^n | x^(n+1) / (n+1) + C (si n ≠ -1) |
1/x | ln |
e^x | e^x + C |
a^x | a^x / ln(a) + C |
sen(x) | -cos(x) + C |
cos(x) | sen(x) + C |
1/cos²(x) | tan(x) + C |
1/√(1-x²) | arcsen(x) + C |
1/(1+x²) | arctan(x) + C |
La constante de integración
Nunca olvides la + C al final de una integral indefinida. Es un error muy penalizado en exámenes.
¿Por qué existe? Porque hay infinitas funciones con la misma derivada (todas difieren en una constante).
Errores más comunes
1. Olvidar la constante C
Es el error más frecuente y el más fácil de evitar.
2. Confundir el signo en trigonométricas
∫ sen(x) dx = -cos(x) + C (con signo negativo)
∫ cos(x) dx = sen(x) + C (sin signo negativo)
3. Equivocarse con la integral de 1/x
∫ 1/x dx = ln|x| + C (con valor absoluto)
📎 Ejercicios recomendados de integrales inmediatas:
Marea Verde – Unidad de integrales
Integrales con cambio de variable sencillo
Cuando la integral no es inmediata, el primer método a probar es el cambio de variable.
Cuándo se usa
Se usa cuando dentro de la integral aparece una función y su derivada (o algo proporcional a ella).
Ejemplo:
∫ 2x · e^(x²) dx
Aquí aparece x² y su derivada 2x. Hacemos el cambio:
u = x²
du = 2x dx
La integral queda:
∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C
Cómo elegir el cambio
Busca una expresión "complicada" dentro de la integral cuya derivada también aparezca (multiplicando).
Pistas habituales:
Si hay e^(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay ln(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay (algo)^n, prueba u = ese "algo"
Nivel exigido en Bachillerato
En 2º de Bachillerato no te van a pedir cambios de variable muy elaborados. Los cambios suelen ser bastante directos: polinomios, exponenciales sencillas, funciones trigonométricas básicas.
📎 Ejercicios resueltos de cambio de variable:
Matemáticas Online – Integrales CCSS y Ciencias
Las integrales no se entienden memorizando pasos.
En Tu Profe al Rescate las trabajamos una a una, en clases particulares y grupales, hasta que el método sale solo.
👉 Escríbeme por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Integral definida y cálculo de áreas
La integral definida es la que tiene límites de integración (un valor inferior y uno superior).
Significado geométrico
La integral definida de f(x) entre a y b representa el área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b (con signo: positiva si la función está por encima del eje X, negativa si está por debajo).
Cómo se calcula
Aplicamos la Regla de Barrow:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Donde F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
∫[0,2] x² dx = [x³/3] de 0 a 2 = 8/3 - 0 = 8/3
Qué suelen pedir en Selectividad
En la EBAU, los problemas de integrales definidas suelen pedir:
Área bajo una curva: Calcular el área entre una función y el eje X.
Área entre dos curvas: Calcular el área encerrada entre dos funciones.
Área con partes positivas y negativas: Cuidado aquí, hay que separar los intervalos.
Truco importante:
Si la función cruza el eje X, tienes que dividir la integral en trozos y sumar los valores absolutos de cada área.
📎 Problemas EBAU resueltos de integral definida:
Matemáticas Online – Integral definida
Ejercicios tipo PAU / EBAU de integrales
La mejor forma de preparar la EBAU es practicar con ejercicios reales de años anteriores.
Qué suele caer
Integral indefinida: Calcular una primitiva usando métodos básicos o cambio de variable.
Integral definida: Calcular el valor numérico de una integral con límites.
Cálculo de áreas: Hallar el área bajo una curva o entre dos curvas.
Problemas contextualizados: Aplicaciones a física o economía (menos frecuentes).
PDFs recomendados
📎 Recopilación completa de integrales (José Luis Lorente):
Un documento muy extenso con ejercicios de todo tipo, ideal para la recta final.
👉 Descargar recopilación de integrales
📎 Ejercicios de análisis con integrales (Matemáticas Online):
Incluye integrales dentro de problemas más amplios de análisis.
👉 Descargar ejercicios de análisis
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Marea Verde | Unidad completa | |
Matemáticas Online (CCSS) | Ejercicios resueltos | |
Matemáticas Online | Integral definida | |
José Luis Lorente | Recopilación EBAU |
¿Quieres asegurar integrales en el examen?
Doy clases particulares y grupales de Matemáticas II, centradas en ejercicios reales de EBAU.
👉 Reserva tu clase por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Qué es una integral y para qué sirve
Si las derivadas responden a la pregunta "¿cómo varía esta función?", las integrales responden a la pregunta inversa: "¿qué función tiene esta derivada?"
La idea de función primitiva
Integrar es encontrar una función primitiva: una función F(x) cuya derivada sea f(x).
Si F'(x) = f(x), entonces F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
La derivada de x² es 2x.
Por tanto, una primitiva de 2x es x².
Pero ojo: también x² + 5 tiene derivada 2x. Y x² - 100. Por eso, cuando integramos, siempre añadimos una constante de integración C:
∫ 2x dx = x² + C
Para qué sirven en 2º Bachillerato
En el temario de Matemáticas II, las integrales se usan principalmente para:
Calcular áreas bajo curvas o entre funciones
Resolver problemas de física (velocidad, posición, trabajo...)
Encontrar primitivas de funciones dadas
En la EBAU, lo más frecuente es que te pidan calcular integrales y usarlas para hallar áreas.
Integrales inmediatas
Las integrales inmediatas son las que se resuelven directamente aplicando la tabla de integrales básicas. Son el pan de cada día.
Tabla básica de integrales
Función | Integral |
|---|---|
x^n | x^(n+1) / (n+1) + C (si n ≠ -1) |
1/x | ln |
e^x | e^x + C |
a^x | a^x / ln(a) + C |
sen(x) | -cos(x) + C |
cos(x) | sen(x) + C |
1/cos²(x) | tan(x) + C |
1/√(1-x²) | arcsen(x) + C |
1/(1+x²) | arctan(x) + C |
La constante de integración
Nunca olvides la + C al final de una integral indefinida. Es un error muy penalizado en exámenes.
¿Por qué existe? Porque hay infinitas funciones con la misma derivada (todas difieren en una constante).
Errores más comunes
1. Olvidar la constante C
Es el error más frecuente y el más fácil de evitar.
2. Confundir el signo en trigonométricas
∫ sen(x) dx = -cos(x) + C (con signo negativo)
∫ cos(x) dx = sen(x) + C (sin signo negativo)
3. Equivocarse con la integral de 1/x
∫ 1/x dx = ln|x| + C (con valor absoluto)
📎 Ejercicios recomendados de integrales inmediatas:
Marea Verde – Unidad de integrales
Integrales con cambio de variable sencillo
Cuando la integral no es inmediata, el primer método a probar es el cambio de variable.
Cuándo se usa
Se usa cuando dentro de la integral aparece una función y su derivada (o algo proporcional a ella).
Ejemplo:
∫ 2x · e^(x²) dx
Aquí aparece x² y su derivada 2x. Hacemos el cambio:
u = x²
du = 2x dx
La integral queda:
∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C
Cómo elegir el cambio
Busca una expresión "complicada" dentro de la integral cuya derivada también aparezca (multiplicando).
Pistas habituales:
Si hay e^(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay ln(algo), prueba u = ese "algo"
Si hay (algo)^n, prueba u = ese "algo"
Nivel exigido en Bachillerato
En 2º de Bachillerato no te van a pedir cambios de variable muy elaborados. Los cambios suelen ser bastante directos: polinomios, exponenciales sencillas, funciones trigonométricas básicas.
📎 Ejercicios resueltos de cambio de variable:
Matemáticas Online – Integrales CCSS y Ciencias
Las integrales no se entienden memorizando pasos.
En Tu Profe al Rescate las trabajamos una a una, en clases particulares y grupales, hasta que el método sale solo.
👉 Escríbeme por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Integral definida y cálculo de áreas
La integral definida es la que tiene límites de integración (un valor inferior y uno superior).
Significado geométrico
La integral definida de f(x) entre a y b representa el área bajo la curva de f(x) entre x = a y x = b (con signo: positiva si la función está por encima del eje X, negativa si está por debajo).
Cómo se calcula
Aplicamos la Regla de Barrow:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)
Donde F(x) es una primitiva de f(x).
Ejemplo:
∫[0,2] x² dx = [x³/3] de 0 a 2 = 8/3 - 0 = 8/3
Qué suelen pedir en Selectividad
En la EBAU, los problemas de integrales definidas suelen pedir:
Área bajo una curva: Calcular el área entre una función y el eje X.
Área entre dos curvas: Calcular el área encerrada entre dos funciones.
Área con partes positivas y negativas: Cuidado aquí, hay que separar los intervalos.
Truco importante:
Si la función cruza el eje X, tienes que dividir la integral en trozos y sumar los valores absolutos de cada área.
📎 Problemas EBAU resueltos de integral definida:
Matemáticas Online – Integral definida
Ejercicios tipo PAU / EBAU de integrales
La mejor forma de preparar la EBAU es practicar con ejercicios reales de años anteriores.
Qué suele caer
Integral indefinida: Calcular una primitiva usando métodos básicos o cambio de variable.
Integral definida: Calcular el valor numérico de una integral con límites.
Cálculo de áreas: Hallar el área bajo una curva o entre dos curvas.
Problemas contextualizados: Aplicaciones a física o economía (menos frecuentes).
PDFs recomendados
📎 Recopilación completa de integrales (José Luis Lorente):
Un documento muy extenso con ejercicios de todo tipo, ideal para la recta final.
👉 Descargar recopilación de integrales
📎 Ejercicios de análisis con integrales (Matemáticas Online):
Incluye integrales dentro de problemas más amplios de análisis.
👉 Descargar ejercicios de análisis
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Marea Verde | Unidad completa | |
Matemáticas Online (CCSS) | Ejercicios resueltos | |
Matemáticas Online | Integral definida | |
José Luis Lorente | Recopilación EBAU |
¿Quieres asegurar integrales en el examen?
Doy clases particulares y grupales de Matemáticas II, centradas en ejercicios reales de EBAU.
👉 Reserva tu clase por WhatsApp. PRIMERA CLASE GRATIS.
Compartir:
Sobre el autor:
Profe
Con más de 7 años de experiencia acompañando a estudiantes de todas las edades, Narcisa se especializa en transformar la forma en que aprenden Matemáticas, Física y Química. Su método se basa en explicar lo complejo de manera sencilla, con clases dinámicas que combinan claridad, práctica y mucha confianza. Cada sesión está diseñada para que el alumno salga más preparado, más seguro y con la sensación de que sí puede con la asignatura.
Únete a nuestra comunidad y te avisaremos de cualquier novedad :)
You've been subscribed!
You've been subscribed!
You've been subscribed!
