Qué son las matrices y para qué se usan en 2º Bachillerato

Una matriz es, básicamente, una tabla ordenada de números dispuestos en filas y columnas.

Se escribe entre paréntesis (o corchetes, según el libro) y tiene un orden que indica su tamaño: primero el número de filas y luego el de columnas.

Ejemplo:
Una matriz de orden 2×3 (2 filas, 3 columnas):

A = ( 1   2   3 )
    ( 4   5   6 )

Para qué aparecen en el temario

En 2º de Bachillerato, las matrices se usan principalmente para:

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta

• Representar transformaciones geométricas (aunque esto se toca poco)

• Plantear y resolver problemas aplicados (producción, costes, etc.)

No te van a pedir que programes con matrices ni nada por el estilo. El objetivo es que sepas operar con ellas, calcular inversas y resolver ecuaciones matriciales.

Tipos de matrices que entran en 2º Bachillerato

Matriz fila, columna y rectangular

• Matriz fila: Solo tiene una fila (orden 1×n)
  Ejemplo: ( 2 5 -1 )

• Matriz columna: Solo tiene una columna (orden m×1)
  Ejemplo:

  ( 3 )
  ( 7 )
  ( 2 )

• Matriz rectangular: Tiene diferente número de filas que de columnas (m ≠ n)

Matriz cuadrada

Tiene el mismo número de filas que de columnas (orden n×n).

Las matrices cuadradas son las más importantes porque:

• Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa

• Solo las matrices cuadradas tienen determinante

Ejemplo de matriz cuadrada 3×3:

A = ( 1   2   3 )
    ( 4   5   6 )
    ( 7   8   9 )

Matriz nula, identidad y diagonal

Matriz nula (O): Todos sus elementos son cero.

Matriz diagonal: Solo tiene elementos distintos de cero en la diagonal principal.

D = ( 2   0   0 )
    ( 0   5   0 )
    ( 0   0   3 )

Matriz identidad (I): Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales a 1.

I = ( 1   0   0 )
    ( 0   1   0 )
    ( 0   0   1 )

La identidad es el "uno" de las matrices: cualquier matriz multiplicada por la identidad da la misma matriz.

A · I = I · A = A

Errores típicos

• Confundir identidad con diagonal: La identidad es un caso particular de diagonal (con unos).

• No identificar bien el orden: Recuerda: filas × columnas, en ese orden.

📎 Ejercicios recomendados de tipos de matrices:
IES Vilalonga – Operaciones con matrices

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Operaciones con matrices

Suma y resta de matrices

Solo se pueden sumar (o restar) matrices del mismo orden. Se suman los elementos que ocupan la misma posición.

Ejemplo:

A = ( 1   2 )    B = ( 5   1 )
    ( 3   4 )        ( 2   6 )

A + B = ( 1+5   2+1 )   =   ( 6   3 )
        ( 3+2   4+6 )       ( 5  10 )

Error típico: Intentar sumar matrices de distinto orden. Si A es 2×3 y B es 2×2, no se pueden sumar.

Producto de una matriz por un número

Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Ejemplo:

A = ( 2   4 )
    ( 6   8 )

3 · A = ( 6   12 )
        ( 18  24 )

Producto de matrices

El producto de matrices es la operación más importante y donde más errores se cometen.

Condición de compatibilidad:
Solo puedes multiplicar A × B si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Si A es de orden m×n y B es de orden n×p, entonces A×B existe y tiene orden m×p.

El producto NO es conmutativo:
En general, A × B ≠ B × A

De hecho, puede que A × B exista pero B × A no.

Cómo se multiplica:
El elemento de la fila i, columna j del producto se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B (elemento a elemento) y sumando.

Ejemplo:

A = ( 1   2 )    B = ( 5   6 )
    ( 3   4 )        ( 7   8 )

A × B:
Posición (1,1): 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
Posición (1,2): 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
Posición (2,1): 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
Posición (2,2): 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

A × B = ( 19  22 )
        ( 43  50 )

📎 Ejercicios de operaciones con matrices:
IRFB – Hoja de trabajo completa

Matriz identidad e inversa de una matriz

Matriz identidad

Ya la hemos visto: es la matriz con unos en la diagonal y ceros fuera.

Su propiedad fundamental es que actúa como el "uno" en la multiplicación:

A · I = I · A = A

Matriz inversa

La inversa de una matriz A (se escribe A⁻¹) es la matriz que cumple:

A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I

Es decir, multiplicar una matriz por su inversa da la identidad.

¿Cuándo existe la inversa?

Una matriz tiene inversa si y solo si:

• Es cuadrada

• Su determinante es distinto de cero

Si el determinante es cero, la matriz se llama singular y no tiene inversa.

Cómo calcular la inversa

En 2º de Bachillerato se usan principalmente dos métodos:

1. Método de la matriz adjunta:
A⁻¹ = (1 / det(A)) · Adj(A)ᵀ

Donde Adj(A) es la matriz de adjuntos (cofactores).

2. Método de Gauss-Jordan:
Se forma la matriz aumentada (A | I) y se hacen operaciones elementales hasta convertirla en (I | A⁻¹).

El método que te pidan dependerá de tu profesor y tu comunidad. Ambos son válidos.

Errores habituales

• Pensar que todas las matrices tienen inversa: Solo las cuadradas con determinante ≠ 0.

• Fallos de cálculo en determinantes: Un error en el determinante arrastra todo lo demás.

• Olvidar la traspuesta en el método de la adjunta: Es Adj(A)ᵀ, no Adj(A).

📎 Ejercicios resueltos paso a paso:
Matemáticas Online – Problemas resueltos de matrices

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Ecuaciones matriciales y problemas aplicados

Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz.

Ejemplo:
Encuentra X tal que A · X = B

Solución (si A tiene inversa):
Multiplicamos ambos lados por A⁻¹ por la izquierda:

A⁻¹ · A · X = A⁻¹ · B
I · X = A⁻¹ · B
X = A⁻¹ · B

Cuidado con el orden:

• Si la ecuación es A · X = B, multiplicas por la izquierda: X = A⁻¹ · B

• Si la ecuación es X · A = B, multiplicas por la derecha: X = B · A⁻¹

El orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo.

Problemas aplicados

En la EBAU suelen aparecer problemas contextualizados donde tienes que:

1. Traducir la información a matrices

2. Plantear una ecuación matricial

3. Resolverla

4. Interpretar el resultado

Ejemplo típico: Problemas de producción, costes, precios... donde las matrices representan cantidades y hay que calcular totales.

📎 Ejercicios tipo EBAU:
Colegio San Agustín – Ejercicios de examen

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Tipos de ejercicios de matrices que entran en 2º Bachillerato

Un resumen para que tengas claro qué practicar:

• ✅ Identificación del orden y tipo de matriz

• ✅ Suma, resta y producto por un escalar

• ✅ Producto de matrices (con comprobación de compatibilidad)

• ✅ Cálculo de la matriz inversa

• ✅ Ecuaciones matriciales (despejar X)

• ✅ Problemas aplicados tipo EBAUç

Recuerda que tengo un artículo con ejercicios de límites para 2º Bachillerato, los cuales son muy importantes para Selectividad, por si quieres reforzarlos :)

Resumen de recursos

Preguntas frecuentes sobre matrices en 2º Bachillerato

¿Las matrices siempre entran en Selectividad?

Sí, prácticamente siempre. Matrices y determinantes forman uno de los bloques fundamentales de Matemáticas II. Suele caer al menos un ejercicio de matrices o ecuaciones matriciales.

¿Qué es lo que más penalizan en el examen?

• Errores de cálculo en el producto de matrices

• Confundir el orden al despejar en ecuaciones matriciales

• Olvidar comprobar si la matriz tiene inversa antes de usarla

• Fallos en el cálculo del determinante

¿Matriz inversa o determinantes, qué es más importante?

Ambos van de la mano. Necesitas el determinante para saber si existe la inversa y para calcularla. No puedes dominar uno sin el otro.

¿Cuánto tiempo dedicar a este tema?

Las matrices suelen ocupar las primeras 2-3 semanas del curso. Pero como son la base de determinantes y sistemas, merece la pena dedicarle tiempo extra si no te salen bien. Los errores aquí se arrastran todo el bloque.

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