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Números complejos 1º Bachillerato: explicación clara y ejercicios en PDF
Números complejos 1º Bachillerato: explicación clara y ejercicios en PDF
Números complejos 1º Bachillerato: explicación clara y ejercicios en PDF
Aprende los números complejos en 1º de Bachillerato paso a paso y practica con ejercicios resueltos: operaciones, forma polar, raíces y ecuaciones.
Qué son los números complejos y por qué aparecen en Bachillerato
Hasta ahora, cuando te encontrabas una ecuación como x² = -1, decías "no tiene solución" y te quedabas tan tranquilo. Pero en 1º de Bachillerato eso cambia.
Los números complejos surgen precisamente para resolver ese problema: dar solución a ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
La idea es simple: inventamos un número nuevo, llamado i (unidad imaginaria), que cumple que i² = -1. A partir de ahí, construimos un sistema numérico más amplio que incluye los números reales como caso particular.
¿Para qué sirven en el temario? En 1º de Bachillerato los trabajas como un bloque propio: operaciones, representación gráfica, forma polar... No te van a pedir aplicaciones a ingeniería ni nada raro. El objetivo es que entiendas cómo funcionan y sepas operar con ellos.
Y no te asustes: una vez que pillas la mecánica, los ejercicios son bastante predecibles.
La unidad imaginaria i
Definición de i
La unidad imaginaria i es un número que cumple:
i² = -1
O dicho de otra forma: i = raíz cuadrada de -1
Esto al principio parece raro, porque siempre te han dicho que no se puede sacar la raíz de un número negativo. Y es verdad... si te quedas en los números reales. Pero al ampliar el sistema con los complejos, sí se puede.
Potencias de i
Las potencias de i siguen un patrón cíclico que conviene memorizar:
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² · i = -1 · i = -i
i⁴ = i² · i² = (-1) · (-1) = 1
i⁵ = i⁴ · i = 1 · i = i
i⁶ = i⁴ · i² = 1 · (-1) = -1
...
¿Ves el patrón? Cada 4 potencias se repite: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1...
Truco para calcular potencias altas de i:
Divide el exponente entre 4 y quédate con el resto.
Resto 0 → i⁰ = 1
Resto 1 → i¹ = i
Resto 2 → i² = -1
Resto 3 → i³ = -i
Ejemplo: ¿Cuánto vale i²³?
23 ÷ 4 = 5 con resto 3, así que i²³ = i³ = -i
Errores típicos con i
1. Pensar que la raíz de -1 "no existe"
Existe, pero es un número complejo, no real. Se llama i.
2. Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Este es el error más común. Cuando multiplicas dos expresiones con i, tienes que acordarte de sustituir i² por -1.
3. Confundir los signos en las potencias
Si no tienes claro el patrón cíclico, es fácil equivocarse con i³ o i⁴.
Si aquí ya empiezas a dudar, no pasa nada.
En Tu Profe al Rescate explicamos los complejos con ejemplos muy visuales, en clases particulares y grupales, hasta que encajan.
👉 Escríbeme por WhatsApp y lo vemos juntos
Forma binómica de un número complejo
Qué es la forma a + bi
Un número complejo en forma binómica se escribe así:
z = a + bi
Donde:
a es la parte real
b es la parte imaginaria (el número que multiplica a i)
a y b son números reales
Ejemplos:
z = 3 + 2i → parte real = 3, parte imaginaria = 2
z = -1 + 4i → parte real = -1, parte imaginaria = 4
z = 5 → parte real = 5, parte imaginaria = 0 (es un número real)
z = 3i → parte real = 0, parte imaginaria = 3 (es un imaginario puro)
Cuándo dos complejos son iguales
Dos números complejos son iguales si y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.
Si z₁ = a + bi y z₂ = c + di, entonces:
z₁ = z₂ ⟺ a = c y b = d
Esto es muy útil para resolver ecuaciones con complejos: igualas las partes reales por un lado y las imaginarias por otro.
Operaciones con números complejos
Suma y resta de complejos
Se suman (o restan) las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplo:
(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i
Es muy mecánico, pero cuidado con los signos cuando hay restas.
Multiplicación de números complejos
Se multiplica como un producto de binomios (usando la propiedad distributiva) y luego se sustituye i² = -1.
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
= ac + adi + bci + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(2 + 3i) · (1 - 2i) = 2·1 + 2·(-2i) + 3i·1 + 3i·(-2i)
= 2 - 4i + 3i - 6i²
= 2 - 4i + 3i - 6·(-1)
= 2 - 4i + 3i + 6
= 8 - i
El error más común aquí es olvidar sustituir i² por -1.
División de números complejos
Para dividir, multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de (c + di) es (c - di). Al multiplicar un complejo por su conjugado, obtienes un número real.
Ejemplo:
(3 + 2i) / (1 + i)
Multiplicamos por el conjugado del denominador (1 - i):
= (3 + 2i)(1 - i) / (1 + i)(1 - i)
Numerador: (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i² = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 - i
Denominador: (1 + i)(1 - i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2
Resultado: (5 - i) / 2 = 5/2 - (1/2)i
La división es donde más errores se cometen. Practica mucho este tipo de ejercicios.
📎 Ejercicios recomendados de operaciones:
Matemáticas Online – ejercicios con soluciones
Representación de números complejos en el plano
Los números complejos se pueden representar en un plano llamado plano complejo o diagrama de Argand.
El eje horizontal es el eje real (donde están los números reales)
El eje vertical es el eje imaginario
Cada número complejo z = a + bi se representa como el punto (a, b).
Ejemplos:
z = 3 + 2i → punto (3, 2)
z = -1 + 4i → punto (-1, 4)
z = 2 → punto (2, 0)
z = -3i → punto (0, -3)
La distancia del punto al origen es el módulo del número complejo (lo vemos en el siguiente apartado).
📎 Ejercicios visuales y progresivos:
Intergranada – Unidad completa de números complejos
Muchos suspensos vienen de no entender bien el plano complejo.
En clase lo trabajamos despacio, con dibujos y práctica guiada. PRIMERA CLASE GRATIS.
👉 Pregúntame por WhatsApp
Forma polar de un número complejo
Además de la forma binómica (a + bi), los números complejos se pueden expresar en forma polar, usando su módulo y su argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de z = a + bi es la distancia del punto (a, b) al origen. Se calcula como:
|z| = raíz de (a² + b²)
Ejemplo:
z = 3 + 4i
|z| = raíz de (3² + 4²) = raíz de (9 + 16) = raíz de 25 = 5
Argumento de un número complejo
El argumento es el ángulo que forma el vector (desde el origen hasta el punto) con el eje real positivo.
Se calcula con:
tan(θ) = b / a
Pero cuidado: hay que tener en cuenta en qué cuadrante está el punto para obtener el ángulo correcto.
Cuadrante | Parte real | Parte imaginaria | Argumento |
|---|---|---|---|
Primero | a > 0 | b > 0 | θ = arctan(b/a) |
Segundo | a < 0 | b > 0 | θ = 180° - arctan( |
Tercero | a < 0 | b < 0 | θ = 180° + arctan( |
Cuarto | a > 0 | b < 0 | θ = 360° - arctan( |
Forma polar
Un número complejo en forma polar se escribe como:
z = r · (cos θ + i · sen θ)
O de forma abreviada: z = r∠θ
Donde r es el módulo y θ es el argumento.
📎 Ejercicios de forma polar:
Matemáticas Online – hoja de ejercicios
Potencias y raíces de números complejos
En 1º de Bachillerato se trabajan las potencias y raíces de números complejos, pero a un nivel básico.
Potencias: Se usan mucho mejor en forma polar. Si z = r∠θ, entonces:
zⁿ = rⁿ∠(n·θ)
Es decir: elevas el módulo a la potencia n y multiplicas el argumento por n.
Raíces: Las raíces n-ésimas de un complejo dan n soluciones distintas, espaciadas uniformemente en el plano complejo. En 1º de Bachillerato normalmente solo se piden las raíces cuadradas o como mucho cúbicas.
No te preocupes si esto te parece más complicado: en el examen de 1º de Bachillerato suelen pedir ejercicios directos, sin demasiadas vueltas.
📎 Ejercicios graduados:
YoQuieroAprobar – ficha de refuerzo
Ecuaciones con números complejos
En el examen pueden pedirte resolver ecuaciones donde la incógnita es un número complejo.
Ejemplo:
Encuentra z tal que (2 + i)z = 3 - i
Solución:
z = (3 - i) / (2 + i)
Multiplicamos por el conjugado:
z = (3 - i)(2 - i) / (2 + i)(2 - i)
z = (6 - 3i - 2i + i²) / (4 - i²)
z = (6 - 5i - 1) / (4 + 1)
z = (5 - 5i) / 5
z = 1 - i
Otro tipo de ejercicio:
Encuentra a y b reales tales que (a + bi)² = 3 + 4i
Aquí desarrollas el cuadrado, igualas partes reales e imaginarias, y obtienes un sistema de ecuaciones.
📎 Ejercicios tipo examen:
Matemáticas Online – hoja de repaso
Ejercicios completos de números complejos (todo el tema)
Si quieres un recurso que cubra todo el tema desde cero hasta nivel examen, este es el mejor:
📎 Unidad completa de números complejos (Marea Verde):
Descargar unidad completa
Incluye teoría resumida y ejercicios progresivos de todos los apartados.
Tipos de ejercicios de números complejos que entran en 1º Bachillerato
Un resumen para que tengas claro qué practicar:
✅ Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división)
✅ Representación en el plano complejo
✅ Cálculo de módulo y argumento
✅ Paso de forma binómica a polar y viceversa
✅ Potencias de números complejos
✅ Raíces cuadradas de números complejos
✅ Ecuaciones sencillas con complejos
Te recuerdo que tengo una lista de ejercicios completos y recopilados para ti de límites para 1º Bachillerato, los cuales son muy importantes de cara a Selectividad.
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Matemáticas Online – Operaciones | Ejercicios básicos | |
Intergranada – Unidad completa | Teoría y ejercicios | |
YoQuieroAprobar – Refuerzo | Ejercicios graduados | |
Matemáticas Online – Repaso | Tipo examen | |
Marea Verde – Todo el tema | Completo |
Preguntas frecuentes sobre números complejos
¿Por qué existen los números complejos?
Porque hay ecuaciones (como x² = -1) que no tienen solución en los números reales. Los complejos amplían el sistema numérico para que todas las ecuaciones polinómicas tengan solución.
¿Son difíciles en el examen?
Una vez que entiendes la mecánica, no especialmente. Los ejercicios suelen ser bastante directos: operaciones, módulo, argumento, forma polar. Lo importante es no cometer errores de signo ni olvidar que i² = -1.
¿Entran en Selectividad?
En la mayoría de comunidades, los números complejos no entran en la PAU de Matemáticas II. Son contenido de 1º de Bachillerato que luego no se amplía en 2º. Pero en el examen de 1º sí son importantes.
¿Qué errores penalizan más?
Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Equivocarse con los signos en la división (al usar el conjugado)
Confundir el cuadrante al calcular el argumento
No simplificar correctamente después de operar
¿Quieres entender los números complejos sin memorizar pasos?
En Tu Profe al Rescate ofrecemos clases particulares y grupales de Matemáticas para 1º de Bachillerato. Explicaciones claras, práctica guiada y acompañamiento real hasta que el tema deja de ser un problema. PRIMERA CLASE GRATIS.
Qué son los números complejos y por qué aparecen en Bachillerato
Hasta ahora, cuando te encontrabas una ecuación como x² = -1, decías "no tiene solución" y te quedabas tan tranquilo. Pero en 1º de Bachillerato eso cambia.
Los números complejos surgen precisamente para resolver ese problema: dar solución a ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
La idea es simple: inventamos un número nuevo, llamado i (unidad imaginaria), que cumple que i² = -1. A partir de ahí, construimos un sistema numérico más amplio que incluye los números reales como caso particular.
¿Para qué sirven en el temario? En 1º de Bachillerato los trabajas como un bloque propio: operaciones, representación gráfica, forma polar... No te van a pedir aplicaciones a ingeniería ni nada raro. El objetivo es que entiendas cómo funcionan y sepas operar con ellos.
Y no te asustes: una vez que pillas la mecánica, los ejercicios son bastante predecibles.
La unidad imaginaria i
Definición de i
La unidad imaginaria i es un número que cumple:
i² = -1
O dicho de otra forma: i = raíz cuadrada de -1
Esto al principio parece raro, porque siempre te han dicho que no se puede sacar la raíz de un número negativo. Y es verdad... si te quedas en los números reales. Pero al ampliar el sistema con los complejos, sí se puede.
Potencias de i
Las potencias de i siguen un patrón cíclico que conviene memorizar:
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² · i = -1 · i = -i
i⁴ = i² · i² = (-1) · (-1) = 1
i⁵ = i⁴ · i = 1 · i = i
i⁶ = i⁴ · i² = 1 · (-1) = -1
...
¿Ves el patrón? Cada 4 potencias se repite: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1...
Truco para calcular potencias altas de i:
Divide el exponente entre 4 y quédate con el resto.
Resto 0 → i⁰ = 1
Resto 1 → i¹ = i
Resto 2 → i² = -1
Resto 3 → i³ = -i
Ejemplo: ¿Cuánto vale i²³?
23 ÷ 4 = 5 con resto 3, así que i²³ = i³ = -i
Errores típicos con i
1. Pensar que la raíz de -1 "no existe"
Existe, pero es un número complejo, no real. Se llama i.
2. Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Este es el error más común. Cuando multiplicas dos expresiones con i, tienes que acordarte de sustituir i² por -1.
3. Confundir los signos en las potencias
Si no tienes claro el patrón cíclico, es fácil equivocarse con i³ o i⁴.
Si aquí ya empiezas a dudar, no pasa nada.
En Tu Profe al Rescate explicamos los complejos con ejemplos muy visuales, en clases particulares y grupales, hasta que encajan.
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Forma binómica de un número complejo
Qué es la forma a + bi
Un número complejo en forma binómica se escribe así:
z = a + bi
Donde:
a es la parte real
b es la parte imaginaria (el número que multiplica a i)
a y b son números reales
Ejemplos:
z = 3 + 2i → parte real = 3, parte imaginaria = 2
z = -1 + 4i → parte real = -1, parte imaginaria = 4
z = 5 → parte real = 5, parte imaginaria = 0 (es un número real)
z = 3i → parte real = 0, parte imaginaria = 3 (es un imaginario puro)
Cuándo dos complejos son iguales
Dos números complejos son iguales si y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.
Si z₁ = a + bi y z₂ = c + di, entonces:
z₁ = z₂ ⟺ a = c y b = d
Esto es muy útil para resolver ecuaciones con complejos: igualas las partes reales por un lado y las imaginarias por otro.
Operaciones con números complejos
Suma y resta de complejos
Se suman (o restan) las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplo:
(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i
Es muy mecánico, pero cuidado con los signos cuando hay restas.
Multiplicación de números complejos
Se multiplica como un producto de binomios (usando la propiedad distributiva) y luego se sustituye i² = -1.
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
= ac + adi + bci + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(2 + 3i) · (1 - 2i) = 2·1 + 2·(-2i) + 3i·1 + 3i·(-2i)
= 2 - 4i + 3i - 6i²
= 2 - 4i + 3i - 6·(-1)
= 2 - 4i + 3i + 6
= 8 - i
El error más común aquí es olvidar sustituir i² por -1.
División de números complejos
Para dividir, multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de (c + di) es (c - di). Al multiplicar un complejo por su conjugado, obtienes un número real.
Ejemplo:
(3 + 2i) / (1 + i)
Multiplicamos por el conjugado del denominador (1 - i):
= (3 + 2i)(1 - i) / (1 + i)(1 - i)
Numerador: (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i² = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 - i
Denominador: (1 + i)(1 - i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2
Resultado: (5 - i) / 2 = 5/2 - (1/2)i
La división es donde más errores se cometen. Practica mucho este tipo de ejercicios.
📎 Ejercicios recomendados de operaciones:
Matemáticas Online – ejercicios con soluciones
Representación de números complejos en el plano
Los números complejos se pueden representar en un plano llamado plano complejo o diagrama de Argand.
El eje horizontal es el eje real (donde están los números reales)
El eje vertical es el eje imaginario
Cada número complejo z = a + bi se representa como el punto (a, b).
Ejemplos:
z = 3 + 2i → punto (3, 2)
z = -1 + 4i → punto (-1, 4)
z = 2 → punto (2, 0)
z = -3i → punto (0, -3)
La distancia del punto al origen es el módulo del número complejo (lo vemos en el siguiente apartado).
📎 Ejercicios visuales y progresivos:
Intergranada – Unidad completa de números complejos
Muchos suspensos vienen de no entender bien el plano complejo.
En clase lo trabajamos despacio, con dibujos y práctica guiada. PRIMERA CLASE GRATIS.
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Forma polar de un número complejo
Además de la forma binómica (a + bi), los números complejos se pueden expresar en forma polar, usando su módulo y su argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de z = a + bi es la distancia del punto (a, b) al origen. Se calcula como:
|z| = raíz de (a² + b²)
Ejemplo:
z = 3 + 4i
|z| = raíz de (3² + 4²) = raíz de (9 + 16) = raíz de 25 = 5
Argumento de un número complejo
El argumento es el ángulo que forma el vector (desde el origen hasta el punto) con el eje real positivo.
Se calcula con:
tan(θ) = b / a
Pero cuidado: hay que tener en cuenta en qué cuadrante está el punto para obtener el ángulo correcto.
Cuadrante | Parte real | Parte imaginaria | Argumento |
|---|---|---|---|
Primero | a > 0 | b > 0 | θ = arctan(b/a) |
Segundo | a < 0 | b > 0 | θ = 180° - arctan( |
Tercero | a < 0 | b < 0 | θ = 180° + arctan( |
Cuarto | a > 0 | b < 0 | θ = 360° - arctan( |
Forma polar
Un número complejo en forma polar se escribe como:
z = r · (cos θ + i · sen θ)
O de forma abreviada: z = r∠θ
Donde r es el módulo y θ es el argumento.
📎 Ejercicios de forma polar:
Matemáticas Online – hoja de ejercicios
Potencias y raíces de números complejos
En 1º de Bachillerato se trabajan las potencias y raíces de números complejos, pero a un nivel básico.
Potencias: Se usan mucho mejor en forma polar. Si z = r∠θ, entonces:
zⁿ = rⁿ∠(n·θ)
Es decir: elevas el módulo a la potencia n y multiplicas el argumento por n.
Raíces: Las raíces n-ésimas de un complejo dan n soluciones distintas, espaciadas uniformemente en el plano complejo. En 1º de Bachillerato normalmente solo se piden las raíces cuadradas o como mucho cúbicas.
No te preocupes si esto te parece más complicado: en el examen de 1º de Bachillerato suelen pedir ejercicios directos, sin demasiadas vueltas.
📎 Ejercicios graduados:
YoQuieroAprobar – ficha de refuerzo
Ecuaciones con números complejos
En el examen pueden pedirte resolver ecuaciones donde la incógnita es un número complejo.
Ejemplo:
Encuentra z tal que (2 + i)z = 3 - i
Solución:
z = (3 - i) / (2 + i)
Multiplicamos por el conjugado:
z = (3 - i)(2 - i) / (2 + i)(2 - i)
z = (6 - 3i - 2i + i²) / (4 - i²)
z = (6 - 5i - 1) / (4 + 1)
z = (5 - 5i) / 5
z = 1 - i
Otro tipo de ejercicio:
Encuentra a y b reales tales que (a + bi)² = 3 + 4i
Aquí desarrollas el cuadrado, igualas partes reales e imaginarias, y obtienes un sistema de ecuaciones.
📎 Ejercicios tipo examen:
Matemáticas Online – hoja de repaso
Ejercicios completos de números complejos (todo el tema)
Si quieres un recurso que cubra todo el tema desde cero hasta nivel examen, este es el mejor:
📎 Unidad completa de números complejos (Marea Verde):
Descargar unidad completa
Incluye teoría resumida y ejercicios progresivos de todos los apartados.
Tipos de ejercicios de números complejos que entran en 1º Bachillerato
Un resumen para que tengas claro qué practicar:
✅ Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división)
✅ Representación en el plano complejo
✅ Cálculo de módulo y argumento
✅ Paso de forma binómica a polar y viceversa
✅ Potencias de números complejos
✅ Raíces cuadradas de números complejos
✅ Ecuaciones sencillas con complejos
Te recuerdo que tengo una lista de ejercicios completos y recopilados para ti de límites para 1º Bachillerato, los cuales son muy importantes de cara a Selectividad.
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Matemáticas Online – Operaciones | Ejercicios básicos | |
Intergranada – Unidad completa | Teoría y ejercicios | |
YoQuieroAprobar – Refuerzo | Ejercicios graduados | |
Matemáticas Online – Repaso | Tipo examen | |
Marea Verde – Todo el tema | Completo |
Preguntas frecuentes sobre números complejos
¿Por qué existen los números complejos?
Porque hay ecuaciones (como x² = -1) que no tienen solución en los números reales. Los complejos amplían el sistema numérico para que todas las ecuaciones polinómicas tengan solución.
¿Son difíciles en el examen?
Una vez que entiendes la mecánica, no especialmente. Los ejercicios suelen ser bastante directos: operaciones, módulo, argumento, forma polar. Lo importante es no cometer errores de signo ni olvidar que i² = -1.
¿Entran en Selectividad?
En la mayoría de comunidades, los números complejos no entran en la PAU de Matemáticas II. Son contenido de 1º de Bachillerato que luego no se amplía en 2º. Pero en el examen de 1º sí son importantes.
¿Qué errores penalizan más?
Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Equivocarse con los signos en la división (al usar el conjugado)
Confundir el cuadrante al calcular el argumento
No simplificar correctamente después de operar
¿Quieres entender los números complejos sin memorizar pasos?
En Tu Profe al Rescate ofrecemos clases particulares y grupales de Matemáticas para 1º de Bachillerato. Explicaciones claras, práctica guiada y acompañamiento real hasta que el tema deja de ser un problema. PRIMERA CLASE GRATIS.
Qué son los números complejos y por qué aparecen en Bachillerato
Hasta ahora, cuando te encontrabas una ecuación como x² = -1, decías "no tiene solución" y te quedabas tan tranquilo. Pero en 1º de Bachillerato eso cambia.
Los números complejos surgen precisamente para resolver ese problema: dar solución a ecuaciones que no tienen solución en los números reales.
La idea es simple: inventamos un número nuevo, llamado i (unidad imaginaria), que cumple que i² = -1. A partir de ahí, construimos un sistema numérico más amplio que incluye los números reales como caso particular.
¿Para qué sirven en el temario? En 1º de Bachillerato los trabajas como un bloque propio: operaciones, representación gráfica, forma polar... No te van a pedir aplicaciones a ingeniería ni nada raro. El objetivo es que entiendas cómo funcionan y sepas operar con ellos.
Y no te asustes: una vez que pillas la mecánica, los ejercicios son bastante predecibles.
La unidad imaginaria i
Definición de i
La unidad imaginaria i es un número que cumple:
i² = -1
O dicho de otra forma: i = raíz cuadrada de -1
Esto al principio parece raro, porque siempre te han dicho que no se puede sacar la raíz de un número negativo. Y es verdad... si te quedas en los números reales. Pero al ampliar el sistema con los complejos, sí se puede.
Potencias de i
Las potencias de i siguen un patrón cíclico que conviene memorizar:
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² · i = -1 · i = -i
i⁴ = i² · i² = (-1) · (-1) = 1
i⁵ = i⁴ · i = 1 · i = i
i⁶ = i⁴ · i² = 1 · (-1) = -1
...
¿Ves el patrón? Cada 4 potencias se repite: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1...
Truco para calcular potencias altas de i:
Divide el exponente entre 4 y quédate con el resto.
Resto 0 → i⁰ = 1
Resto 1 → i¹ = i
Resto 2 → i² = -1
Resto 3 → i³ = -i
Ejemplo: ¿Cuánto vale i²³?
23 ÷ 4 = 5 con resto 3, así que i²³ = i³ = -i
Errores típicos con i
1. Pensar que la raíz de -1 "no existe"
Existe, pero es un número complejo, no real. Se llama i.
2. Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Este es el error más común. Cuando multiplicas dos expresiones con i, tienes que acordarte de sustituir i² por -1.
3. Confundir los signos en las potencias
Si no tienes claro el patrón cíclico, es fácil equivocarse con i³ o i⁴.
Si aquí ya empiezas a dudar, no pasa nada.
En Tu Profe al Rescate explicamos los complejos con ejemplos muy visuales, en clases particulares y grupales, hasta que encajan.
👉 Escríbeme por WhatsApp y lo vemos juntos
Forma binómica de un número complejo
Qué es la forma a + bi
Un número complejo en forma binómica se escribe así:
z = a + bi
Donde:
a es la parte real
b es la parte imaginaria (el número que multiplica a i)
a y b son números reales
Ejemplos:
z = 3 + 2i → parte real = 3, parte imaginaria = 2
z = -1 + 4i → parte real = -1, parte imaginaria = 4
z = 5 → parte real = 5, parte imaginaria = 0 (es un número real)
z = 3i → parte real = 0, parte imaginaria = 3 (es un imaginario puro)
Cuándo dos complejos son iguales
Dos números complejos son iguales si y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.
Si z₁ = a + bi y z₂ = c + di, entonces:
z₁ = z₂ ⟺ a = c y b = d
Esto es muy útil para resolver ecuaciones con complejos: igualas las partes reales por un lado y las imaginarias por otro.
Operaciones con números complejos
Suma y resta de complejos
Se suman (o restan) las partes reales entre sí y las imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Ejemplo:
(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i
Es muy mecánico, pero cuidado con los signos cuando hay restas.
Multiplicación de números complejos
Se multiplica como un producto de binomios (usando la propiedad distributiva) y luego se sustituye i² = -1.
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
= ac + adi + bci + bd(-1)
= (ac - bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(2 + 3i) · (1 - 2i) = 2·1 + 2·(-2i) + 3i·1 + 3i·(-2i)
= 2 - 4i + 3i - 6i²
= 2 - 4i + 3i - 6·(-1)
= 2 - 4i + 3i + 6
= 8 - i
El error más común aquí es olvidar sustituir i² por -1.
División de números complejos
Para dividir, multiplicas numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de (c + di) es (c - di). Al multiplicar un complejo por su conjugado, obtienes un número real.
Ejemplo:
(3 + 2i) / (1 + i)
Multiplicamos por el conjugado del denominador (1 - i):
= (3 + 2i)(1 - i) / (1 + i)(1 - i)
Numerador: (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i² = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 - i
Denominador: (1 + i)(1 - i) = 1 - i² = 1 - (-1) = 2
Resultado: (5 - i) / 2 = 5/2 - (1/2)i
La división es donde más errores se cometen. Practica mucho este tipo de ejercicios.
📎 Ejercicios recomendados de operaciones:
Matemáticas Online – ejercicios con soluciones
Representación de números complejos en el plano
Los números complejos se pueden representar en un plano llamado plano complejo o diagrama de Argand.
El eje horizontal es el eje real (donde están los números reales)
El eje vertical es el eje imaginario
Cada número complejo z = a + bi se representa como el punto (a, b).
Ejemplos:
z = 3 + 2i → punto (3, 2)
z = -1 + 4i → punto (-1, 4)
z = 2 → punto (2, 0)
z = -3i → punto (0, -3)
La distancia del punto al origen es el módulo del número complejo (lo vemos en el siguiente apartado).
📎 Ejercicios visuales y progresivos:
Intergranada – Unidad completa de números complejos
Muchos suspensos vienen de no entender bien el plano complejo.
En clase lo trabajamos despacio, con dibujos y práctica guiada. PRIMERA CLASE GRATIS.
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Forma polar de un número complejo
Además de la forma binómica (a + bi), los números complejos se pueden expresar en forma polar, usando su módulo y su argumento.
Módulo de un número complejo
El módulo de z = a + bi es la distancia del punto (a, b) al origen. Se calcula como:
|z| = raíz de (a² + b²)
Ejemplo:
z = 3 + 4i
|z| = raíz de (3² + 4²) = raíz de (9 + 16) = raíz de 25 = 5
Argumento de un número complejo
El argumento es el ángulo que forma el vector (desde el origen hasta el punto) con el eje real positivo.
Se calcula con:
tan(θ) = b / a
Pero cuidado: hay que tener en cuenta en qué cuadrante está el punto para obtener el ángulo correcto.
Cuadrante | Parte real | Parte imaginaria | Argumento |
|---|---|---|---|
Primero | a > 0 | b > 0 | θ = arctan(b/a) |
Segundo | a < 0 | b > 0 | θ = 180° - arctan( |
Tercero | a < 0 | b < 0 | θ = 180° + arctan( |
Cuarto | a > 0 | b < 0 | θ = 360° - arctan( |
Forma polar
Un número complejo en forma polar se escribe como:
z = r · (cos θ + i · sen θ)
O de forma abreviada: z = r∠θ
Donde r es el módulo y θ es el argumento.
📎 Ejercicios de forma polar:
Matemáticas Online – hoja de ejercicios
Potencias y raíces de números complejos
En 1º de Bachillerato se trabajan las potencias y raíces de números complejos, pero a un nivel básico.
Potencias: Se usan mucho mejor en forma polar. Si z = r∠θ, entonces:
zⁿ = rⁿ∠(n·θ)
Es decir: elevas el módulo a la potencia n y multiplicas el argumento por n.
Raíces: Las raíces n-ésimas de un complejo dan n soluciones distintas, espaciadas uniformemente en el plano complejo. En 1º de Bachillerato normalmente solo se piden las raíces cuadradas o como mucho cúbicas.
No te preocupes si esto te parece más complicado: en el examen de 1º de Bachillerato suelen pedir ejercicios directos, sin demasiadas vueltas.
📎 Ejercicios graduados:
YoQuieroAprobar – ficha de refuerzo
Ecuaciones con números complejos
En el examen pueden pedirte resolver ecuaciones donde la incógnita es un número complejo.
Ejemplo:
Encuentra z tal que (2 + i)z = 3 - i
Solución:
z = (3 - i) / (2 + i)
Multiplicamos por el conjugado:
z = (3 - i)(2 - i) / (2 + i)(2 - i)
z = (6 - 3i - 2i + i²) / (4 - i²)
z = (6 - 5i - 1) / (4 + 1)
z = (5 - 5i) / 5
z = 1 - i
Otro tipo de ejercicio:
Encuentra a y b reales tales que (a + bi)² = 3 + 4i
Aquí desarrollas el cuadrado, igualas partes reales e imaginarias, y obtienes un sistema de ecuaciones.
📎 Ejercicios tipo examen:
Matemáticas Online – hoja de repaso
Ejercicios completos de números complejos (todo el tema)
Si quieres un recurso que cubra todo el tema desde cero hasta nivel examen, este es el mejor:
📎 Unidad completa de números complejos (Marea Verde):
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Incluye teoría resumida y ejercicios progresivos de todos los apartados.
Tipos de ejercicios de números complejos que entran en 1º Bachillerato
Un resumen para que tengas claro qué practicar:
✅ Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división)
✅ Representación en el plano complejo
✅ Cálculo de módulo y argumento
✅ Paso de forma binómica a polar y viceversa
✅ Potencias de números complejos
✅ Raíces cuadradas de números complejos
✅ Ecuaciones sencillas con complejos
Te recuerdo que tengo una lista de ejercicios completos y recopilados para ti de límites para 1º Bachillerato, los cuales son muy importantes de cara a Selectividad.
Resumen de recursos
Recurso | Contenido | Enlace |
|---|---|---|
Matemáticas Online – Operaciones | Ejercicios básicos | |
Intergranada – Unidad completa | Teoría y ejercicios | |
YoQuieroAprobar – Refuerzo | Ejercicios graduados | |
Matemáticas Online – Repaso | Tipo examen | |
Marea Verde – Todo el tema | Completo |
Preguntas frecuentes sobre números complejos
¿Por qué existen los números complejos?
Porque hay ecuaciones (como x² = -1) que no tienen solución en los números reales. Los complejos amplían el sistema numérico para que todas las ecuaciones polinómicas tengan solución.
¿Son difíciles en el examen?
Una vez que entiendes la mecánica, no especialmente. Los ejercicios suelen ser bastante directos: operaciones, módulo, argumento, forma polar. Lo importante es no cometer errores de signo ni olvidar que i² = -1.
¿Entran en Selectividad?
En la mayoría de comunidades, los números complejos no entran en la PAU de Matemáticas II. Son contenido de 1º de Bachillerato que luego no se amplía en 2º. Pero en el examen de 1º sí son importantes.
¿Qué errores penalizan más?
Olvidar que i² = -1 al multiplicar
Equivocarse con los signos en la división (al usar el conjugado)
Confundir el cuadrante al calcular el argumento
No simplificar correctamente después de operar
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Sobre el autor:
Profe
Con más de 7 años de experiencia acompañando a estudiantes de todas las edades, Narcisa se especializa en transformar la forma en que aprenden Matemáticas, Física y Química. Su método se basa en explicar lo complejo de manera sencilla, con clases dinámicas que combinan claridad, práctica y mucha confianza. Cada sesión está diseñada para que el alumno salga más preparado, más seguro y con la sensación de que sí puede con la asignatura.
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