Qué significa "producto" en matemáticas

Antes de meternos con el producto escalar, aclaremos algo que genera bastante confusión.

En matemáticas, "producto" simplemente significa multiplicación. Cuando dices "el producto de 3 y 4", estás diciendo 3 × 4 = 12.

Pero con vectores la cosa cambia. Los vectores no son números normales: tienen magnitud (tamaño) y dirección. Por eso no puedes multiplicarlos como harías con dos números cualquiera.

Existen dos formas de multiplicar vectores:

Hoy nos centramos en el producto escalar, que es el que aparece en Bachillerato y el que necesitas dominar primero.

Definición de producto escalar con la fórmula general

El producto escalar de dos vectores es un número que relaciona sus magnitudes y el ángulo que forman entre ellos.

Fórmula geométrica:

u · v = |u| × |v| × cos(α)

Donde:

• u y v son los dos vectores

• |u| y |v| son sus módulos (sus longitudes)

• α (alfa) es el ángulo que forman entre ellos

• El resultado es un número, no un vector

¿Qué te dice este número?

El producto escalar te da información sobre cómo se relacionan los dos vectores:

• Si es positivo: Los vectores apuntan en direcciones "parecidas" (ángulo menor de 90°).

• Si es negativo: Los vectores apuntan en direcciones "opuestas" (ángulo mayor de 90°).

• Si es cero: Los vectores son perpendiculares (forman exactamente 90°).

Esta última propiedad es muy útil. Cuando el producto escalar de dos vectores es 0, sabes que son perpendiculares sin necesidad de dibujar nada.

Ejemplo intuitivo

Imagina que empujas un carrito de la compra.

• Si empujas en la dirección en la que se mueve, haces trabajo máximo (producto escalar alto).

• Si empujas hacia arriba (perpendicular al movimiento), no avanzas nada (producto escalar = 0).

• Si empujas hacia atrás, frenas (producto escalar negativo).

El producto escalar mide, en cierto modo, "cuánto colaboran" dos vectores en la misma dirección. Por eso en Física se usa para calcular el trabajo de una fuerza.

Cómo calcularlo con componentes (2D y 3D)

En la práctica, casi nunca usarás la fórmula con el coseno directamente. Lo normal es trabajar con las componentes de los vectores, que es mucho más rápido.

En 2D (dos dimensiones)

Si tienes dos vectores:

• u = (u1, u2)

• v = (v1, v2)

El producto escalar se calcula así:

u · v = u1 × v1 + u2 × v2

Es decir: multiplicas las primeras componentes entre sí, multiplicas las segundas, y sumas los resultados.

Ejemplo:

u = (3, 4) y v = (2, -1)

u · v = 3 × 2 + 4 × (-1) = 6 - 4 = 2

En 3D (tres dimensiones)

La fórmula se amplía de forma natural. Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3):

u · v = u1 × v1 + u2 × v2 + u3 × v3

Ejemplo:

u = (1, 2, 3) y v = (4, -2, 1)

u · v = 1 × 4 + 2 × (-2) + 3 × 1 = 4 - 4 + 3 = 3

📎 Para practicar más: Aquí tienes ejercicios resueltos de producto escalar con vectores en el espacio, incluyendo cálculo de ángulos.

Si los vectores te lían un poco, no te preocupes: es normal.
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Interpretación geométrica (proyecciones, perpendicularidad)

El producto escalar no es solo una fórmula para soltar en el examen. Tiene un significado geométrico muy potente.

Perpendicularidad

Esta es la aplicación más directa:

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero.

Ejemplo:

u = (3, 2) y v = (-2, 3)

u · v = 3 × (-2) + 2 × 3 = -6 + 6 = 0

Como el producto escalar es 0, los vectores son perpendiculares. Sin dibujar nada.

Esto es muy útil en problemas donde te piden encontrar un vector perpendicular a otro o comprobar si dos rectas son perpendiculares.

Proyección de un vector sobre otro

El producto escalar también sirve para calcular proyecciones.

La proyección de u sobre v te dice "cuánto" del vector u va en la dirección de v.

Fórmula de la proyección escalar:

proy = (u · v) / |v|

Ejemplo visual: Imagina que caminas 10 metros hacia el noreste. ¿Cuánto has avanzado exactamente hacia el norte? Eso es una proyección.

En Física esto aparece constantemente: descomponer fuerzas, calcular trabajo, analizar movimientos en planos inclinados...

Problemas resueltos tipo Bachillerato

Problema 1: Comprobar perpendicularidad

¿Son perpendiculares los vectores u = (1, 2, -1) y v = (3, -1, 1)?

Solución:

u · v = 1 × 3 + 2 × (-1) + (-1) × 1 = 3 - 2 - 1 = 0

Como el producto escalar es 0, sí son perpendiculares.

Problema 2: Encontrar un valor desconocido

¿Para qué valor de k son perpendiculares los vectores a = (k, 2, 1) y b = (3, -1, k)?

Solución:

Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser 0:

a · b = k × 3 + 2 × (-1) + 1 × k = 0

3k - 2 + k = 0

4k = 2

k = 0,5

📎 Más práctica: Este tema tiene una explicación muy clara con teoría y ejercicios de producto escalar a nivel de Bachillerato.

Errores típicos

Estos son los fallos que veo una y otra vez:

1. Confundir producto escalar con producto vectorial

El producto escalar da un número. El producto vectorial da un vector. Si te piden el producto escalar y escribes un vector como resultado, está mal.

2. Olvidar los signos en las componentes

Cuando tienes componentes negativas, mucho cuidado. El error típico es ignorar los signos negativos al multiplicar.

3. Confundir módulo con producto escalar

El módulo lleva raíz cuadrada. El producto escalar de un vector por sí mismo es el módulo al cuadrado (sin raíz).

4. Obtener un coseno imposible

Si te sale un coseno mayor que 1 o menor que -1, has hecho algo mal. El coseno siempre está entre -1 y 1.

Ejercicios propuestos con soluciones

Ejercicio 1:

Calcula el producto escalar de u = (5, -2) y v = (3, 4).

Solución:

u · v = 5 × 3 + (-2) × 4 = 15 - 8 = 7

Ejercicio 2:

Comprueba si los vectores u = (4, -2, 1) y v = (1, 3, 2) son perpendiculares.

Solución:

u · v = 4 × 1 + (-2) × 3 + 1 × 2 = 4 - 6 + 2 = 0

Como el producto escalar es 0, sí son perpendiculares.

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Si te interesa entender qué es la moda en matemáticas, tengo una entrada que puede interesante con PDFs de ejercicios :)